전체적인 흐름을 정확하게 잡고 제대로 훌륭하게 작성된거 같습니다.
컴퓨터 사양이 어떻게 되는지 모르겠지만 작성하신 프로그램으로 일부 문법 수정만 해서 정올에서 채점하면 충분하게 시간내에 출력이 되고 100점을 받으실 수 있습니다.
(전국대회 채점하는 컴퓨터는 정올보다 높은 사양입니다.)

시간을 더 줄일 수 있는 방법으로는 가지치기를 하면 되는데 이 경우에는 입력된 내용을 하나씩 확인하면서 만약 현재 저장된 값이 입력된 값을 초과하는 경우 더 이상 진행하지 않고 리턴을 해주는 방법으로 하면 상당한 시간을 줄일 수 있습니다. (물론 이 문제에서는 그럴 필요가 없습니다.)

참고로 보다 실력을 키우기 위해서는 코딩 습관을 몇가지 고쳐주는게 어떨까 생각합니다.
중요한 내용을 몇가지만 말씀드리면 다음과 같습니다.

1. for문 내에 int i와 같이 변수를 선언하는 것은 컴파일러에 따라서 컴파일 에러를 발생할 수 있으므로 가능하면 별도로 선언을 하는 것이 좋을 듯 합니다.

2. 전역변수로 선언을 하면 정수의 경우 기본값이 0으로 초기화 되므로 다시 최기화하기 위한 코딩은 불필요합니다.

3. main 함수에 return 0; 이 생략되어 있군요.

4. 재귀함수에서 b의 값에 따라 동일한 호출이 여러군데 분산이 되므로 프로그램이 복잡해 보입니다. 이런때는 그냥 한가지로 호출을 한 후에 재귀함수 내에서 보정을 해주면 프로그램이 무척 심플해 질 수 있습니다.

5. 최종적으로 확인을 하는 부분에서도 동일한 문장이 여러번 반복이 됩니다. 이런 경우에도 for문을 사용하여 동일한 문장을 하나로 줄이거나, 간단하게 확인하는 함수 하나를 작성하여 호출을 하면 프로그램이 무척 간단해 집니다.

참고로 두가지 형태로 수정한 소스를 올려드리니 참고하시기 바랍니다.

for문을 이용한 코딩

#include <stdio.h>
int w[5][7][4];
int c[7][4];
int chk[5];

void world(int a, int b)
{
 int i, j, k;
 if(b>6) {
  a++;
  b=a+1;
 }
 if(a==6) {
  for(i=1;i<=4;i++) {
   if(chk[i]==1) continue;
   chk[0]=1;
   for(j=1;j<=6;j++) {
    for(k=1;k<=3;k++) {
     if(c[j][k]!=w[i][j][k]) {
      chk[0]=0;
      break;
     }
    }
    if(chk[0]==0) break;
   }
   chk[i]=chk[0];
  }
  return;
 }
 c[a][1]++;  c[b][3]++;
 world(a,b+1);
 c[a][1]--;  c[b][3]--;

 c[a][2]++; c[b][2]++;
 world(a,b+1);
 c[a][2]--;  c[b][2]--;

 c[a][3]++;  c[b][1]++;
 world(a,b+1);
 c[a][3]--;  c[b][1]--;
}

int main()
{
 int i,j,k;
 FILE*fin = fopen("INPUT.TXT","r");
 for(i=1;i<=4;i++) {
  for(j=1;j<=6;j++) {
   for(k=1;k<=3;k++) {
    fscanf(fin,"%d",&w[i][j][k]);
   }
  }
 }
 fclose(fin);
 world(1,2);
 FILE*fout=fopen("OUTPUT.TXT","w");
 fprintf(fout,"%d %d %d %d",chk[1],chk[2],chk[3],chk[4]);
 fclose(fout);
 return 0;
}

check 함수를 이용한 코딩
#include <stdio.h>
int w[5][7][4];
int c[7][4];
int chk[5];

int check(int num)
{
 int chk=0, i, j;
 for(i=1;i<=6;i++) {
  for(j=1;j<=3;j++) {
   if(c[i][j]!=w[num][i][j]) {
    return 0;
   }
  }
 }
 return 1;
}

void world(int a, int b)
{
 int i;
 if(b>6) {
  a++;
  b=a+1;
 }
 if(a==6) {
  for(i=1;i<=4;i++) {
   if(chk[i]==0) chk[i]=check(i);
  }
  return;
 }
 c[a][1]++;  c[b][3]++;
 world(a,b+1);
 c[a][1]--;  c[b][3]--;

 c[a][2]++; c[b][2]++;
 world(a,b+1);
 c[a][2]--;  c[b][2]--;

 c[a][3]++;  c[b][1]++;
 world(a,b+1);
 c[a][3]--;  c[b][1]--;
}

int main()
{
 int i,j,k;
 FILE*fin = fopen("INPUT.TXT","r");
 for(i=1;i<=4;i++) {
  for(j=1;j<=6;j++) {
   for(k=1;k<=3;k++) {
    fscanf(fin,"%d",&w[i][j][k]);
   }
  }
 }
 fclose(fin);
 world(1,2);
 FILE*fout=fopen("OUTPUT.TXT","w");
 fprintf(fout,"%d %d %d %d",chk[1],chk[2],chk[3],chk[4]);
 fclose(fout);
 return 0;
}